BAHAN AJAR GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR DUA LINGKARAN

 

1.      Mengenal garis singgung lingkaran

Pernahkah kalian memperhatikan rantai sepeda yang menghubungkan pedal dan roda belakang? Apa saja komponen yang ada di sana? Ya, di sana terdapat dua gir yang berbentuk lingkaran bergerigi yang dihubungkan oleh rantai. Panjang rantai haruslah tepat, tidak terlalu ketat dan tidak terlalu longgar. Panjang rantai tersebut menunjukkan salah satu penerapan garis singgung lingkaran dalam hal ini garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Sumber gambar: https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/ 

Gambar 1: Sepeda dan Rantai sepeda

Kali ini akan diuraikan garis singgung lingkaran. Apa itu garis singgung lingkaran?. Untuk mengenal garis singgung lingkaran, cermati uraian berikut.

Uraian ini menggambarkan definisi garis singgung lingkaran yaitu:

 

Dari definisi di atas, kita dapat mengenal garis singgung dan bukan garis singgung suatu lingkaran. Perhatikan gambar!. Garis berwarna merah dan banyak titik pada lingkaran yang di potong oleh garis tersebut.

Sumber: As’ari et. All, 2016

Gambar 3; Perbedan garis singgung dan bukan garis singgung.

Perhatikan kembali Gambar 1. Gambar 1 menunjukkan bahwa ukuran sudut yang terbentuk antara jari-jari dan garis singgung lingkaran adalah sudut siku-siku.

2.      Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

Pada mata pelajaran IPA, Saudara mempelajari tentang fenomena gerhana bulan. Terdapat daerah umbra dan penumbra pada saat terjadinya gerhana bulan. Bagaimana menentukan daerah umbra dan penumbra tersebut? Perhatikan gambar gerhana bulan yang terjadi pada tanggal 28 Juli 2018 berikut ini. Saudara akan menemukan satu lagi penerapan garis singgung persekutuan luar sekaligus persekutuan dalam pada penentuan daerah umbra dan penumbra.

Sumber gambar: Sutaunti, 2019

 

Gambar 4: Gerhana bulan 28 Juli 2018

Misal kita memiliki dua lingkaran dengan pusat P dan Q. Jari-jari lingkaran P dan Q berturut-turut adalah r₁ dan r₂. Garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q adalah ruas garis terpendek yang meninggung kedua lingkaran tersebut dan tidak melalui daerah di antara kedua lingkaran. Perhatikan Gambar 5. Ruas garis FH adalah satu dari dua garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan Q. Tititk F adalah titik singgung pada lingkaran P, tititk H adalah titik singgung pada lingkaran Q.

Gambar 5: Garis singgung persekutuuan luar lingkaran P dan Q

Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan P dan Q, Cermati beberapa informasi penting berikut!

1.      Garis singgung FH menyinggung lingkaran P dan Q masing-masing tepat di satu titik.

2.      Dari titik F dan P dapat dibuat jari-jari lingkaran P sepanjang r₁ dan siku-siku dengan FH.

3.      Dari titik H dan Q dapat dibuat jari-jari lingkaran Q sepanjang r₂ dan siku-siku dengan FH.

Dari ketiga informasi tersebut, dapat dibuat ilustrasi sebagai berikut

Gambar 6: Garis FH garis singgung persekutuuan luar lingkaran P dan Q Perhatikan ruas garis FH dan jari-jari FP dan HQ pada gambar di atas. Kita

mendapatkan informasi bahwa ruas garis FH tegak lurus dengan jari-jari FP dan HQ. Dengan demikian, dapat dibuat garis yang menghubungkan titik Q dengan titik S pada PF, sedemikian sehingga SF=r₂ . Diperoleh gambar baru.

Gambar 7 Garis SQ sejajar dengan garis FH Setelah gambar terbentuk, perhatikan segiempat SQHF.

1.      Panjang SF = HQ = r₂

2.      ÐSFH = ÐQHF sama-sama siku-siku! Mengapa?

Berdasarkan gambar terlihat bahwa QS sejajar dengan FH. Akibatnya ÐFSQ dan ÐHQS adalah sudut siku-siku. Dengan kata lain, segiempat SQHF adalah persegi panjang. Akibatnya adalah panjang QS = FH

Sekarang perhatikan segitiga PSQ. Terdapat beberapa informasi yaitu:

1.      Sudut QSP berpelurus dengan sudut QSR (Sudut QSR siku-siku), sehingga sudut QSP juga siku-siku. Dengan kata lain, segitiga PSQ berupa segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di S.

2.      Panjang PS=r₁ – r₂

Berangkat dari informasi tersebut, dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menentukan panjang QS.

QS² =PQ² – (r₁ – r₂)²

QS = √𝑃𝑄² – (𝑟₁ – 𝑟₁)²

Untuk lebih memahami, silakan cermati contoh berikut.

Contoh 1

Perhatikan gambar!,

Gambar menunjukkan bahwa AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. Hitunglah panjang AB.

 

Alternatif Jawaban:

Dari gambar diperoleh:

Jarak kedua titik pusat lingkaran (PQ) = 13 cm, Panjang jari-jari lingkaran pertama (r₁) = 7 cm, panjang jari-jari lingkaran kedua, r₂ = 2 cm,

Ditanyakan:

Panjang garis singgung persekutuan luar (AB)= …

Penyelesaian:

Jika pada gambar tersebut kita tarik garis sejajar AB dari titik Q, maka kita peroleh garis QC.

Dengan demikian, terbentuk segitiga siku-siku PQC siku-siku di C

Dengan demikian,

QC = √𝑃𝑄² − (𝐴𝑃 − 𝐵𝑄)²

QC = √𝑃𝑄² − (𝑟₁ − 𝑟₂)²

= √13² − (7 − 2)²

= √169 − (5)²

= √169 − 25

= √144

= 12

Karena QC sejajar AB, maka panjang garis singgung AB adalah 12 cm

Contoh 2

Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran 12 cm dan jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkarannya adalah 3 ½ cm, maka hitunglah jari-jari lingkaran yang lain!

Alternatif jawaban:

Diketahui:

Misal l garis singgung lingkaran, p jarak kedua titik pusat lingkaran.

Panjang garis singgung persekutuan luar l = 12 cm

Jarak kedua titik pusat lingkaran p = 13 cm Jari-jari lingkaran r₂ = 3,5 cm

Ditanyakan: r₁ = …

Penyelesaian :

l² = 𝑝² − (𝑟₁ − 𝑟₂)²

12² = 13² – (r₁ – 3,5)²

144 = 169 – (r₁ – 3,5)² (r₁ – 3,5)² = 169 -144 (r₁ – 3,5)² = 25

(r₁ – 3,5) = √25

(r₁ – 3,5) = 5

r₁ = 5 + 3,5

r₁ = 8,5

Jadi jari-jari lingkaran yang lainnya adalah 8,5 cm